Production of double P-wave heavy quarkonia at a super Z factory

Abstract The production of double P -wave heavy quarkonia is studied systematically within the framework of non-relativistic quantum chromodynamics at the exclusive process of the electron–positron collision annihilation at the CM energy $$\sqrt{s}=91.1876$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msqrt> <mml:mi>s</mml:mi> </mml:msqrt> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>91.1876</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> GeV of the $$Z^0$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mi>Z</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msup> </mml:math> pole, i.e., double P -wave charmonia, double P -wave $$B_c$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mi>c</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> mesons, and double P -wave bottomonia in $$e^+e^-\rightarrow \gamma ^*/Z^0 \rightarrow |(Q\bar{Q'})[n]\rangle +|(Q'\bar{Q})[n^\prime ]\rangle $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>e</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mi>e</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> </mml:msup> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>γ</mml:mi> <mml:mo>∗</mml:mo> </mml:msup> <mml:mo>/</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>Z</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>Q</mml:mi> <mml:mover> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>Q</mml:mi> <mml:mo>′</mml:mo> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>¯</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mover> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>[</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>]</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>⟩</mml:mo> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>Q</mml:mi> <mml:mo>′</mml:mo> </mml:msup> <mml:mover> <mml:mrow> <mml:mi>Q</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>¯</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mover> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>[</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>′</mml:mo> </mml:msup> <mml:mo>]</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>⟩</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> ( $$Q/Q'=c$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>Q</mml:mi> <mml:mo>/</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>Q</mml:mi> <mml:mo>′</mml:mo> </mml:msup> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>c</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> - or b -quarks) at a future super Z factory, where [ n ] or $$[n^\prime ]$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>[</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>′</mml:mo> </mml:msup> <mml:mo>]</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> stands for the color-singlet $$[^1P_1]$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mo>[</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msup> <mml:msub> <mml:mi>P</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>]</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> and $$[^3P_J]$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mo>[</mml:mo> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:msup> <mml:msub> <mml:mi>P</mml:mi> <mml:mi>J</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>]</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> ( $$J=0,1,2$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>J</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> ) Fock states. As an improved trace technology is useful for calculating the complicated double P -wave channels, the analytical result can be obtained at the amplitude level. According to our study, the generation rates for the double P -wave heavy quarkonia at the future super Z factory are considerable. The values obtained for the total cross sections of the double P -wave charmonium for $$\sigma {(|(c\bar{c})[1]\rangle +|(c\bar{c})[1]\rangle )}=4.191^{+0.489}_{-0.498}\times 10^{-3}~fb$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>σ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mover> <mml:mrow> <mml:mi>c</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>¯</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mover> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>[</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>]</mml:mo> <mml:mo>⟩</mml:mo> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mover> <mml:mrow> <mml:mi>c</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>¯</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mover> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>[</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>]</mml:mo> <mml:mo>⟩</mml:mo> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo