On the Dehn functions of a class of monadic one-relation monoids

We give an infinite family of monoids <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>Π</mml:mi> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> (for <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>3</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mspace width="0.166667em"/> <mml:mo>⋯</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> ), each with a single defining relation of the form <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>b</mml:mi> <mml:mi>U</mml:mi> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>a</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> , such that the Dehn function of <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>Π</mml:mi> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> is at least exponential. More precisely, we prove that the Dehn function <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>∂</mml:mi> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> of <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>Π</mml:mi> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> satisfies <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>∂</mml:mi> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>⪰</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>/</mml:mo> <mml:mn>4</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> . This answers negatively a question posed by Cain &amp; Maltcev in 2013 on whether every monoid defined by a single relation of the form <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>b</mml:mi> <mml:mi>U</mml:mi> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>a</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> has quadratic Dehn function. Finally, by using the decidability of the rational subset membership problem in the metabelian Baumslag–Solitar groups <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo form="prefix">BS</mml:mo> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> for all <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> , proved recently by Cadilhac, Chistikov &amp; Zetzsche, we show that each <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>Π</mml:mi> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> has decidable word problem.