The finiteness of the Tate–Shafarevich group over function fields for algebraic tori defined over the base field

Let <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>K</mml:mi> </mml:math> be a field and <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>V</mml:mi> </mml:math> be a set of rank one valuations of <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>K</mml:mi> </mml:math> . The corresponding Tate–Shafarevich group of a <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>K</mml:mi> </mml:math> -torus <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>T</mml:mi> </mml:math> is <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>Ш</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>V</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mo form="prefix">ker</mml:mo> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:msub> <mml:mo>∏</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mspace width="0.166667em"/> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mspace width="0.166667em"/> <mml:mi>V</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msup> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:mi>v</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> . We prove that if <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> is the function field of a smooth geometrically integral quasi-projective variety over a field <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:math> of characteristic 0 and <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>V</mml:mi> </mml:math> is the set of discrete valuations of <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>K</mml:mi> </mml:math> associated with prime divisors on <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>X</mml:mi> </mml:math> , then for any torus <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>T</mml:mi> </mml:math> defined over the base field <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:math> , the group <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>Ш</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>V</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> is finite in the following situations: (1) <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:math> is finitely generated and <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>≠</mml:mo> <mml:mi>∅</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> ; (2) <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:math> is a number field.