Logarithmically Enhanced Area-Laws for Fermions in Vanishing Magnetic Fields in Dimension Two

Abstract We consider fermionic ground states of the Landau Hamiltonian, $$H_B$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mi>B</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> , in a constant magnetic field of strength $$B&gt;0$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> in $${\mathbb {R}}^2$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:math> at some fixed Fermi energy $$\mu &gt;0$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> , described by the Fermi projection $$P_B:=1(H_B\le \mu )$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>P</mml:mi> <mml:mi>B</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mi>B</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> . For some fixed bounded domain $$\Lambda \subset {\mathbb {R}}^2$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>Λ</mml:mi> <mml:mo>⊂</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> with boundary set $$\partial \Lambda $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>∂</mml:mi> <mml:mi>Λ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> and an $$L&gt;0$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> we restrict these ground states spatially to the scaled domain $$L \Lambda $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mi>Λ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> and denote the corresponding localised Fermi projection by $$P_B(L\Lambda )$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>P</mml:mi> <mml:mi>B</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mi>Λ</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> . Then we study the scaling of the Hilbert-space trace, $$\textrm{tr} f(P_B(L\Lambda ))$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mtext>tr</mml:mtext> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>P</mml:mi> <mml:mi>B</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mi>Λ</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> , for polynomials f with $$f(0)=f(1)=0$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> of these localised ground states in the joint limit $$L\rightarrow \infty $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> and $$B\rightarrow 0$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> . We obtain to leading order logarithmically enhanced area-laws depending on the size of LB . Roughly speaking, if 1/ B tends to infinity faster than L , then we obtain the known enhanced area-law (by the Widom–Sobolev formula) of the form $$L \ln (L) a(f,\mu ) |\partial \Lambda |$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mo>ln</mml:mo> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mi>∂</mml:mi> <mml:mi>Λ</mml:mi> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> as $$L\rightarrow \infty $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> for the (two-dimensional) Laplacian with Fermi projection $$1(H_0\le \mu )$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> . On the other hand, if L tend