Representations of large Mackey Lie algebras and universal tensor categories

Abstract We extend previous work by constructing a universal abelian tensor category $$\textbf{T}_t$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> generated by two objects X , Y equipped with finite filtrations $$0\subsetneq X_0\subsetneq ...\subsetneq X_{t+1}= X$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>⊊</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>⊊</mml:mo> <mml:mo>.</mml:mo> <mml:mo>.</mml:mo> <mml:mo>.</mml:mo> <mml:mo>⊊</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> and $$0\subsetneq Y_0\subsetneq ... \subsetneq Y_{t+1}= Y$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>⊊</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>Y</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>⊊</mml:mo> <mml:mo>.</mml:mo> <mml:mo>.</mml:mo> <mml:mo>.</mml:mo> <mml:mo>⊊</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>Y</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>Y</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> , and with a pairing $$X\otimes Y\rightarrow \mathbbm {1}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo>⊗</mml:mo> <mml:mi>Y</mml:mi> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> , where $$\mathbbm {1}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:math> is the monoidal unit. This category is modeled as a category of representations of a Mackey Lie algebra $$\mathfrak {gl}^M(V,V_*)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>gl</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>M</mml:mi> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>V</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mmultiscripts> <mml:mi>V</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mrow/> <mml:mo>∗</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow/> </mml:mmultiscripts> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> of cardinality $$2^{\aleph _t}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:msub> <mml:mi>ℵ</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:msub> </mml:msup> </mml:math> , associated to a diagonalizable pairing between two vector spaces $$V,V_*$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>V</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mmultiscripts> <mml:mi>V</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mrow/> <mml:mo>∗</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow/> </mml:mmultiscripts> </mml:mrow> </mml:math> of dimension $$\aleph _t$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>ℵ</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> over an algebraically closed field $${{\mathbb {K}}}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>K</mml:mi> </mml:math> of characteristic 0. As a preliminary step, we study a tensor category $${{\mathbb {T}}}_t$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> generated by the algebraic duals $$V^*$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mi>V</mml:mi> <mml:mo>∗</mml:mo> </mml:msup> </mml:math> and $$(V_*)^*$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mmultiscripts> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mmultiscripts> <mml:mi>V</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mrow/> <mml:mo>∗</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow/> </mml:mmultiscripts> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow/> <mml:mo>∗</mml:mo> </mml:mmultiscripts> </mml:math> . The injective hull of the trivial module $${{\mathbb {K}}}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>K</mml:mi> </mml:math> in $${{\mathbb {T}}}_t$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> is a commutative algebra I , and the category $$\textbf{T}_t$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> consists of all free I -modules in $${{\mathbb {T}}}_t$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> . An essential novelty in our work is the explicit computation of Ext-spaces between simples in both categories $$\textbf{T}_t$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <m