Metric geometry of spaces of persistence diagrams

Persistence diagrams are objects that play a central role in topological data analysis. In the present article, we investigate the local and global geometric properties of spaces of persistence diagrams. In order to do this, we construct a family of functors <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:msub><mml:mi>D</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi></mml:msub> </mml:math> , <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow> </mml:math> , that assign, to each metric pair (<i>X</i>, <i>A</i>), a pointed metric space <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow><mml:msub><mml:mi>D</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi></mml:msub> <mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> . Moreover, we show that <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:msub><mml:mi>D</mml:mi> <mml:mi>∞</mml:mi></mml:msub> </mml:math> is sequentially continuous with respect to the Gromov-Hausdorff convergence of metric pairs, and we prove that <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:msub><mml:mi>D</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi></mml:msub> </mml:math> preserves several useful metric properties, such as completeness and separability, for <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mo>[</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>∞</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow> </mml:math> , and geodesicity and non-negative curvature in the sense of Alexandrov, for <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow> </mml:math> . For the latter case, we describe the metric of the space of directions at the empty diagram. We also show that the Fréchet mean set of a Borel probability measure on <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow><mml:msub><mml:mi>D</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi></mml:msub> <mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> , <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow> </mml:math> , with finite second moment and compact support is non-empty. As an application of our geometric framework, we prove that the space of Euclidean persistence diagrams, <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow><mml:msub><mml:mi>D</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi></mml:msub> <mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo> <mml:msup><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow> <mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub><mml:mi>Δ</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi></mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> , <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow> </mml:math> and <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo><</mml:mo> <mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow> </mml:math> , has infinite covering, Hausdorff, asymptotic, Assouad, and Assouad-Nagata dimensions.