Large-angle analytical solution of magnetization precession in ferromagnetic resonance

Abstract Dynamics of magnetization M driven by microwave are derived analytically from the nonlinear Landau–Lifshitz–Gilbert equation. Analytical M and susceptibility are obtained self-consistently under a positive circularly polarized microwave field, <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold">h</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>h</mml:mi> <mml:mi>cos</mml:mi> <mml:mo>⁡</mml:mo> <mml:mi>ω</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>h</mml:mi> <mml:mi>sin</mml:mi> <mml:mo>⁡</mml:mo> <mml:mi>ω</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> , with frequency <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mrow> <mml:mi>ω</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> , which is perpendicular to a static field, <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold">H</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> . It is found that the orbital of M is always a cone along H . However, with increasing h the polar angle <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mrow> <mml:mi>θ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> of M initially increases, then keeps 90° when <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="italic">h</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mtext>⩾</mml:mtext> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="italic">h</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mi>ω</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>γ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> in ferromagnetic resonance (FMR) mode, where <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mrow> <mml:mi>α</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> is Gilbert damping constant and <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mrow> <mml:mi>γ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> is gyromagnetic ratio. These effects result in a nonlinear variation of FMR signal as h increases to <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mrow> <mml:mi>h</mml:mi> <mml:mtext>⩾</mml:mtext> <mml:msub> <mml:mi>h</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> , where the maximum of resonance peak decreases from a steady value, linewidth increases from a decreasing trend. These analytical solutions provide a complete picture of the dynamics of M with different h and H .