Задача управления для уравнения теплопроводности с граничным условием Неймана

Previously, boundary control problems for a heat conduction equation with Dirichlet boundary condition were studied in a bounded domain. In this paper, we consider the boundary control problem for the heat conduction equation with Neumann boundary condition in a bounded one-dimensional domain. On the part of the border of the considered domain, the value of the solution with control parameter is given. Restrictions on the control are given in such a way that the average value of the solution in some part of the considered domain gets a given value. The studied initial boundary value problem is reduced to the Volterra integral equation of the first type using the method of separation of variables. It is known that the solution of Volterra’s integral equation of the first kind cannot always be shown to exist. In our work, the existence of a solution to the Volterra integral equation of the first kind is shown using the method of Laplace transform. For this, the necessary estimates for the kernel of the integral equation were found. Finally, the admissibility of the control function is proved. Ранее были исследованы задачи граничного управления для уравнения теплопроводности с граничным условием Дирихле в ограниченной области. В данной работе рассматривается задача граничного управления для уравнения теплопроводности с граничными условиями Неймана в ограниченной одномерной области. На части границы рассматриваемой области задано значение решения с управляющим параметром. Ограничения на управление задаются таким образом, чтобы среднее значение решения в некоторой части рассматриваемой области получало заданное значение. Исследуемая начально-краевая задача сводится к интегральному уравнению Вольтерра первого типа с использованием метода разделения переменных. Известно, что не всегда можно доказать существование решения интегрального уравнения Вольтерра первого рода. В нашей работе существование решения интегрального уравнения Вольтерра первого рода показано с помощью метода преобразования Лапласа. Для этого были найдены необходимые оценки ядра интегрального уравнения. Наконец, допустимость функции управления доказана.