$$C^*$$-Algebras Associated to Transfer Operators for Countable-to-One Maps

Abstract Our initial data is a transfer operator L for a continuous, countable-to-one map $$\varphi :\Delta \rightarrow X$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>φ</mml:mi> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mi>Δ</mml:mi> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> defined on an open subset of a locally compact Hausdorff space X . Then L may be identified with a ‘potential’, i.e. a map $$\varrho :\Delta \rightarrow X$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>ϱ</mml:mi> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mi>Δ</mml:mi> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> that need not be continuous unless $$\varphi $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>φ</mml:mi> </mml:math> is a local homeomorphism. We define the crossed product $$C_0(X)\rtimes L$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>⋊</mml:mo> <mml:mi>L</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> as a universal $$C^*$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mo>∗</mml:mo> </mml:msup> </mml:math> -algebra with explicit generators and relations, and give an explicit faithful representation of $$C_0(X)\rtimes L$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>⋊</mml:mo> <mml:mi>L</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> under which it is generated by weighted composition operators. We explain its relationship with Exel–Royer’s crossed products, quiver $$C^*$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mo>∗</mml:mo> </mml:msup> </mml:math> -algebras of Muhly and Tomforde, $$C^*$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mo>∗</mml:mo> </mml:msup> </mml:math> -algebras associated to complex or self-similar dynamics by Kajiwara and Watatani, and groupoid $$C^*$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mo>∗</mml:mo> </mml:msup> </mml:math> -algebras associated to Deaconu–Renault groupoids. We describe spectra of core subalgebras of $$C_0(X)\rtimes L$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>⋊</mml:mo> <mml:mi>L</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> , prove uniqueness theorems for $$C_0(X)\rtimes L$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>⋊</mml:mo> <mml:mi>L</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> and characterize simplicity of $$C_0(X)\rtimes L$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>⋊</mml:mo> <mml:mi>L</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> . We give efficient criteria for $$C_0(X)\rtimes L$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>⋊</mml:mo> <mml:mi>L</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> to be purely infinite simple and in particular a Kirchberg algebra.