Differentiability of the Nonlocal-to-local Transition in Fractional Poisson Problems

Abstract Let $$u_{s}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mi>s</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> denote a solution of the fractional Poisson problem $$\begin{aligned} (-\Delta )^{s} u_{s} = f\quad \text { in }\Omega ,\qquad u_{s}=0\quad \text { on }{\mathbb {R}}^{N}\setminus \Omega , \end{aligned}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mi>Δ</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>s</mml:mi> </mml:msup> <mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mi>s</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mspace/> <mml:mspace/> <mml:mtext>in</mml:mtext> <mml:mspace/> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mspace/> <mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mi>s</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mspace/> <mml:mspace/> <mml:mtext>on</mml:mtext> <mml:mspace/> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo>\</mml:mo> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:math> where $$N\ge 2$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> and $$\Omega \subset {\mathbb {R}}^{N}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mo>⊂</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> is a bounded domain of class $$C^{2}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:math> . We show that the solution mapping $$s\mapsto u_{s}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mo>↦</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mi>s</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> is differentiable in $$L^\infty (\Omega )$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> at s = 1, namely, at the nonlocal-to-local transition. Moreover, using the logarithmic Laplacian, we characterize the derivative $$\partial _{s} u_{s}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>∂</mml:mi> <mml:mi>s</mml:mi> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mi>s</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> as the solution to a boundary value problem. This complements the previously known differentiability results for s in the open interval (0, 1). Our proofs are based on an asymptotic analysis to describe the collapse of the nonlocality of the fractional Laplacian as s approaches 1. We also provide a new representation of $$\partial _{s} u_{s}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>∂</mml:mi> <mml:mi>s</mml:mi> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mi>s</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> for s $$\in (0,1)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> which allows us to refine previously obtained Green function estimates.