Metric Mean Dimension and Mean Hausdorff Dimension Varying the Metric

Abstract Let $$f:\mathbb {M}\rightarrow \mathbb {M}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:mi>M</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> be a continuous map on a compact metric space $$\mathbb {M}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>M</mml:mi> </mml:math> equipped with a fixed metric d , and let $$\tau $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>τ</mml:mi> </mml:math> be the topology on $$\mathbb {M}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>M</mml:mi> </mml:math> induced by d . We denote by $$\mathbb {M}(\tau )$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>τ</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> the set consisting of all metrics on $$\mathbb {M}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>M</mml:mi> </mml:math> that are equivalent to d . Let $$ \text {mdim}_{\text {M}}(\mathbb {M},d, f)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mtext>mdim</mml:mtext> <mml:mtext>M</mml:mtext> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> and $$ \text {mdim}_{\text {H}} (\mathbb {M},d, f)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mtext>mdim</mml:mtext> <mml:mtext>H</mml:mtext> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> be, respectively, the metric mean dimension and mean Hausdorff dimension of f . First, we will establish some fundamental properties of the mean Hausdorff dimension. Furthermore, it is important to note that $$ \text {mdim}_{\text {M}}(\mathbb {M},d, f)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mtext>mdim</mml:mtext> <mml:mtext>M</mml:mtext> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> and $$ \text {mdim}_{\text {H}} (\mathbb {M},d, f)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mtext>mdim</mml:mtext> <mml:mtext>H</mml:mtext> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> depend on the metric d chosen for $$\mathbb {M}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>M</mml:mi> </mml:math> . In this work, we will prove that, for a fixed dynamical system $$f:\mathbb {M}\rightarrow \mathbb {M}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:mi>M</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> , the functions $$\text {mdim}_{\text {M}} (\mathbb {M}, f):\mathbb {M}(\tau )\rightarrow \mathbb {R}\cup \{\infty \}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mtext>mdim</mml:mtext> <mml:mtext>M</mml:mtext> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>τ</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:mo>∪</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>{</mml:mo> <mml:mi>∞</mml:mi> <mml:mo>}</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> and $$ \text {mdim}_{\text {H}}(\mathbb {M}, f): \mathbb {M}(\tau )\rightarrow \mathbb {R}\cup \{\infty \}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mtext>mdim</mml:mtext> <mml:mtext>H</mml:mtext> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>τ</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:mo>∪</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>{</mml:mo> <mml:mi>∞</mml:mi> <mml:mo>}</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> are not continuous, where $$ \text {mdim}_{\text {M}}(\mathbb {M}, f) (\rho )= \text {mdim}_{\text {M}} (\mathbb {M},\rho , f)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mtext>mdim</mml:mtext> <mml:mtext>M</mml:mtext> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi>