Lattice stick number 15 is unattainable for non-splittable links

Abstract In this paper, we explore mathematical links, defined as closed curves embedded in 3D space. Knot theory studies these structures, which also occur in real-world biopolymers like DNA. Lattice links are links in the cubic lattice. For scientific simulations or statistical studies, links are simplified to lattice links. The lattice stick number, denoted as s L ( K ), is the minimum number of lattice sticks needed to represent a link K in the cubic lattice. In previous study, it was shown that only two non-trivial knots and six non-splittable links have s L ≤ 14: specifically, <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi>s</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>L</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>8</mml:mn> </mml:math> , <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi>s</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>L</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi>s</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>L</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo>♯</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:math> = <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi>s</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>L</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mn>6</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mspace width="0.25em"/> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi>s</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>L</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mn>6</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>12</mml:mn> </mml:math> , <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi>s</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>L</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mn>4</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>13</mml:mn> </mml:math> , and <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi>s</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>L</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mn>4</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi>s</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>L</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mn>5</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>