On a solvable four-dimensional system of difference equations

Abstract In this paper we show that the following four-dimensional system of difference equations <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> <m:mtable columnalign="center" rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <m:mtr> <m:mtd> <m:mstyle displaystyle="true"> <m:msub> <m:mi>x</m:mi> <m:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <m:mi>n</m:mi> <m:mo>+</m:mo> <m:mn>1</m:mn> </m:mrow> </m:msub> <m:mo>=</m:mo> <m:msubsup> <m:mi>y</m:mi> <m:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <m:mi>n</m:mi> </m:mrow> <m:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <m:mi>α</m:mi> </m:mrow> </m:msubsup> <m:msubsup> <m:mi>z</m:mi> <m:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <m:mi>n</m:mi> <m:mo>−</m:mo> <m:mn>1</m:mn> </m:mrow> <m:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <m:mi>β</m:mi> </m:mrow> </m:msubsup> <m:mo>,</m:mo> <m:mspace width="1em"/> <m:msub> <m:mi>y</m:mi> <m:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <m:mi>n</m:mi> <m:mo>+</m:mo> <m:mn>1</m:mn> </m:mrow> </m:msub> <m:mo>=</m:mo> <m:msubsup> <m:mi>z</m:mi> <m:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <m:mi>n</m:mi> </m:mrow> <m:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <m:mi>γ</m:mi> </m:mrow> </m:msubsup> <m:msubsup> <m:mi>t</m:mi> <m:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <m:mi>n</m:mi> <m:mo>−</m:mo> <m:mn>1</m:mn> </m:mrow> <m:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <m:mi>δ</m:mi> </m:mrow> </m:msubsup> <m:mo>,</m:mo> <m:mspace width="1em"/> <m:msub> <m:mi>z</m:mi> <m:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <m:mi>n</m:mi> <m:mo>+</m:mo> <m:mn>1</m:mn> </m:mrow> </m:msub> <m:mo>=</m:mo> <m:msubsup> <m:mi>t</m:mi> <m:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <m:mi>n</m:mi> </m:mrow> <m:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <m:mi>ϵ</m:mi> </m:mrow> </m:msubsup> <m:msubsup> <m:mi>x</m:mi> <m:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <m:mi>n</m:mi> <m:mo>−</m:mo> <m:mn>1</m:mn> </m:mrow> <m:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <m:mi>μ</m:mi> </m:mrow> </m:msubsup> <m:mo>,</m:mo> <m:mspace width="1em"/> <m:msub> <m:mi>t</m:mi> <m:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <m:mi>n</m:mi> <m:mo>+</m:mo> <m:mn>1</m:mn> </m:mrow> </m:msub> <m:mo>=</m:mo> <m:msubsup> <m:mi>x</m:mi> <m:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <m:mi>n</m:mi> </m:mrow> <m:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <m:mi>ξ</m:mi> </m:mrow> </m:msubsup> <m:msubsup> <m:mi>y</m:mi> <m:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <m:mi>n</m:mi> <m:mo>−</m:mo> <m:mn>1</m:mn> </m:mrow> <m:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <m:mi>ρ</m:mi> </m:mrow> </m:msubsup> <m:mo>,</m:mo> <m:mspace width="2em"/> <m:mi>n</m:mi> <m:mo>∈</m:mo> <m:msub> <m:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <m:mi mathvariant="double-struck">N</m:mi> </m:mrow> <m:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <m:mn>0</m:mn> </m:mrow> </m:msub> <m:mo>,</m:mo> </m:mstyle> </m:mtd> </m:mtr> </m:mtable> </m:math> $$\begin{array}{} \displaystyle x_{n+1}=y_{n}^{\alpha}z_{n-1}^{\beta}, \quad y_{n+1}=z_{n}^{\gamma}t_{n-1}^{\delta}, \quad z_{n+1}=t_{n}^{\epsilon}x_{n-1}^{\mu}, \quad t_{n+1}=x_{n}^{\xi}y_{n-1}^{\rho}, \qquad n\in \mathbb{N}_{0}, \end{array}$$ where the parameters α , β , γ , δ , ϵ , μ , ξ , ρ ∈ ℤ and the initial values x – i , y – i , z – i , t