Dynamic fluctuations of current and mass in nonequilibrium mass transport processes

Abstract We study steady-state dynamic fluctuations of current and mass in several variants of random average processes on a ring of L sites. These processes violate detailed balance in the bulk and have nontrivial spatial structures: their steady states are not described by the Boltzmann–Gibbs distribution and can have nonzero spatial correlations. Using a microscopic approach, we exactly calculate the second cumulants, or the variance, <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mrow> <mml:mo fence="false" stretchy="false">⟨</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi class="MJX-tex-calligraphic">Q</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msubsup> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:msub> <mml:mo fence="false" stretchy="false">⟩</mml:mo> <mml:mi>c</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> and <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mrow> <mml:mo fence="false" stretchy="false">⟨</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi class="MJX-tex-calligraphic">Q</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mtext>sub</mml:mtext> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msubsup> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>l</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:msub> <mml:mo fence="false" stretchy="false">⟩</mml:mo> <mml:mi>c</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> , of cumulative (time-integrated) currents up to time T across the i th bond and across a subsystem of size l (summed over bonds in the subsystem), respectively. We also calculate the (two-point) dynamic correlation function of the subsystem mass. In particular, we show that, for large <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mrow> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mo>≫</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> , the second cumulant <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mrow> <mml:mo fence="false" stretchy="false">⟨</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi class="MJX-tex-calligraphic">Q</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msubsup> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:msub> <mml:mo fence="false" stretchy="false">⟩</mml:mo> <mml:mi>c</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> of the cumulative current up to time T across the i th bond grows linearly as <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mrow> <mml:mo fence="false" stretchy="false">⟨</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi class="MJX-tex-calligraphic">Q</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msubsup> <mml:msub> <mml:mo fence="false" stretchy="false">⟩</mml:mo> <mml:mi>c</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>∼</mml:mo> <mml:mi>T</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> for initial times <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mrow> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mo>∼</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi class="MJX-tex-calligraphic">O</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> , subdiffusively as <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mrow> <mml:mo fence="false" stretchy="false">⟨</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi>Q</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msubsup> <mml:msub> <mml:mo fence="false" stretchy="false">⟩</mml:mo> <mml:mi>c</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>∼</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mrow> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> for intermediate times <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>≪</mml:mo> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mo>≪</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> , and then again linearly as <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mrow> <mml:mo fence="false" stretchy="false">⟨</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi class="MJX-tex-calligraphic">Q</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msubsup> <mml:msub> <mml:mo fence="false" stretchy="false">⟩</mml:mo> <mml:mi>c</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>∼</mml:mo> <mml:mi>T</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> for long times <jats:inlin