Complex moments of class numbers with fundamental unit restrictions

We explore the distribution of class numbers <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="h left-parenthesis d right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>h</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">h(d)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> of indefinite binary quadratic forms, for discriminants <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="d"> <mml:semantics> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">d</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> such that the corresponding fundamental unit <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="epsilon Subscript d"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi> ε </mml:mi> <mml:mi>d</mml:mi> </mml:msub> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\varepsilon _d</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is lower than <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="d Superscript 1 slash 2 plus alpha"> <mml:semantics> <mml:msup> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi> α </mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:annotation encoding="application/x-tex">d^{1/2+\alpha }</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , where <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="0 greater-than alpha greater-than 1 slash 2"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mi> α </mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">0&gt;\alpha &gt;1/2</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> . To do so we find an asymptotic formula for <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="z Superscript t h"> <mml:semantics> <mml:msup> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mi>h</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:annotation encoding="application/x-tex">z^{th}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> -moments of such <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="h left-parenthesis d right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>h</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">h(d)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> ’s, over <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="d less-than-or-equal-to x"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mo> ≤ </mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">d\leq x</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , uniformly for a complex number <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="z"> <mml:semantics> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">z</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> in a range of the form <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="StartAbsoluteValue z EndAbsoluteValue less-than-or-equal-to left-parenthesis log x right-parenthesis Superscript 1 plus o left-parenthesis 1 right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ≤ </mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>log</mml:mi> <mml:mo> ⁡ </mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:msup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>o</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">|z|\leq (\log x)^{1+o(1)}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="normal fraktur upper R left-parenthesis z right-parenthesis greater-than-or-equal-to negative 1"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> ℜ </mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:m