Effective correlation and decorrelation for newforms, and weak subconvexity for L-functions

Abstract Let f and g be spectrally normalized holomorphic newforms of even weight $$k \ge 2$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> on $$\Gamma _0(q)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>Γ</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> . If $$f\ne g$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>≠</mml:mo> <mml:mi>g</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> , then assume that q is squarefree. For a nice test function $$\psi $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>ψ</mml:mi> </mml:math> supported on $$\Gamma _0(1)\backslash \mathbb {H}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>Γ</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>\</mml:mo> <mml:mi>H</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> , we establish the best known bound (uniform in k , q , and $$\psi $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>ψ</mml:mi> </mml:math> ) for $$ \int _{\Gamma _0(q)\backslash \mathbb {H}}\psi (z)f(z)\overline{g(z)}y^{k}\frac{dxdy}{y^2}-\mathbbm {1}_{f = g}\frac{3}{\pi }\int _{\Gamma _0(1)\backslash \mathbb {H}}\psi (z)\frac{dx dy}{y^2}. $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mo>∫</mml:mo> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>Γ</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>\</mml:mo> <mml:mi>H</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi>ψ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mover> <mml:mrow> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>¯</mml:mo> </mml:mover> <mml:msup> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msup> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi>dxdy</mml:mi> </mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:mfrac> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:msub> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mrow> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>g</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfrac> <mml:mn>3</mml:mn> <mml:mi>π</mml:mi> </mml:mfrac> <mml:msub> <mml:mo>∫</mml:mo> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>Γ</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>\</mml:mo> <mml:mi>H</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi>ψ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi>dxdy</mml:mi> </mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:mfrac> <mml:mo>.</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> When $$f=g$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/