Size of discriminants of periodic geodesics on the modular surface

Pick a random matrix <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>γ</mml:mi> </mml:math> in <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>Γ</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">SL</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>ℤ</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> . Denote by <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>𝒪</mml:mi> <mml:mi>𝕂</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> the Dedekind ring generated by its eigenvalues, and let <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>Δ</mml:mi> <mml:mi>𝕂</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> , <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>Δ</mml:mi> <mml:mi>γ</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> and <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>Δ</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">Tr</mml:mi> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>γ</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>4</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> be the respective discriminant of the rings <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>𝒪</mml:mi> <mml:mi>𝕂</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> , the multiplier ring <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>ℤ</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>∩</mml:mo> <mml:mi>ℚ</mml:mi> <mml:mo>[</mml:mo> <mml:mi>γ</mml:mi> <mml:mo>]</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> and <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>ℤ</mml:mi> <mml:mo>[</mml:mo> <mml:mi>γ</mml:mi> <mml:mo>]</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> . We show that their ratios admit probability limit distributions when ordered by Frobenius norm. In particular, 42% of the elements of <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>Γ</mml:mi> </mml:math> have a fundamental discriminant, and <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>ℤ</mml:mi> <mml:mo>[</mml:mo> <mml:mi>γ</mml:mi> <mml:mo>]</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> is a ring of integers with probability 32%.