Hyperuniform Point Sets on Projective Spaces

Abstract We extend the notion of hyperuniformity to the projective spaces $$\mathbb{R}\mathbb{P}^{d-1}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>P</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> , $$\mathbb{C}\mathbb{P}^{d-1}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>P</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> , $$\mathbb{H}\mathbb{P}^{d-1}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>P</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> , and $$\mathbb{O}\mathbb{P}^2$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>O</mml:mi> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>P</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> . We show that hyperuniformity implies uniform distribution and present examples of deterministic point sets as well as point processes which exhibit hyperuniform behaviour.