Möbius function and primes: an identity factory with applications

We investigate the sums <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="sigma-summation Underscript n less-than-or-equal-to upper X comma left-parenthesis n comma q right-parenthesis equals 1 Endscripts StartFraction mu left-parenthesis n right-parenthesis Over n Superscript s Baseline EndFraction log Superscript k Baseline left-parenthesis StartFraction upper X Over n EndFraction right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:munder> <mml:mo> ∑ </mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo> ≤ </mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> μ </mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>s</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mfrac> <mml:msup> <mml:mi>log</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> ⁡ </mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:mfrac> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\sum _{n\le X, (n,q)=1}\frac {\mu (n)}{n^{s}}\log ^{k}\left (\frac {X}{n}\right )</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , where <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="k element-of StartSet 0 comma 1 EndSet"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo> ∈ </mml:mo> <mml:mo fence="false" stretchy="false">{</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo fence="false" stretchy="false">}</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">k\in \{0,1\}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="s element-of double-struck upper C"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mo> ∈ </mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">C</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">s\in \mathbb {C}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="normal fraktur upper R s greater-than 0"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> ℜ </mml:mi> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\Re s&gt;0</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> . Our goal is to obtain explicit asymptotic estimations for these quantities. To achieve this, we develop a broad framework of identities that we use to derive several applications. Building on similar principles, we also provide an appendix establishing the inequality <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="sigma-summation Underscript n less-than-or-equal-to upper X Endscripts normal upper Lamda left-parenthesis n right-parenthesis slash n less-than-or-equal-to log upper X"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:munder> <mml:mo> ∑ </mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo> ≤ </mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:mi mathvariant="normal"> Λ </mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo> ≤ </mml:mo> <mml:mi>log</mml:mi> <mml:mo> ⁡ </mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\sum _{n\le X}\Lambda (n)/n\le \log X</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , valid for any <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper X greater-than-or-equal-to 1"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo> ≥ </mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">X\geq 1</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> .