Existence of Finite Time Blow-Up in Keller-Segel System

Abstract Perhaps the most classical diffusion model for chemotaxis is the Keller-Segel system $$\begin{aligned} \left\{ \begin{aligned} u_t =&amp;\; \Delta u - \nabla \cdot (u \nabla v) \quad {\quad \hbox {in } }\mathbb {R}^2\times (0,T),\\ v =&amp;\; (-\Delta _{\mathbb {R}^2})^{-1} u := \frac{1}{2\pi } \int _{\mathbb {R}^2} \log \frac{1}{|x-z|}\,u(z,t) dz,\\&amp;\quad \ u(\cdot ,0) = u_0^{\star } \ge 0\quad \text {in } \mathbb {R}^2. \end{aligned} \right. \end{aligned}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mfenced> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>=</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mspace/> <mml:mi>Δ</mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mi>∇</mml:mi> <mml:mo>·</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mi>∇</mml:mi> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mspace/> <mml:mrow> <mml:mspace/> <mml:mtext>in</mml:mtext> <mml:mspace/> </mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo>×</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mrow/> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mspace/> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>Δ</mml:mi> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>π</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:msub> <mml:mo>∫</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:msub> <mml:mo>log</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mspace/> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow/> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mspace/> <mml:mspace/> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mo>·</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi>u</mml:mi>