The integral motivic dual Steenrod algebra

Abstract We calculate the motivic integral dual Steenrod algebra $$\mathbb {M}^S_*\mathbb {Z}(\mathbb {M}^S \mathbb {Z})$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi>M</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow/> <mml:mo>∗</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>S</mml:mi> </mml:msubsup> <mml:mi>Z</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>M</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>S</mml:mi> </mml:msup> <mml:mi>Z</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> over base schemes S for which the mod-p motivic dual Steenrod algebra $$\mathbb {M}^S_*\mathbb {F}_p(\mathbb {M}^S \mathbb {F}_p)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi>M</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow/> <mml:mo>∗</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>S</mml:mi> </mml:msubsup> <mml:msub> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>M</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>S</mml:mi> </mml:msup> <mml:msub> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> conforms with Voevodsky’s formula. Then the kernel of the augmentation $$\mathbb {M}^S_*\mathbb {Z}(\mathbb {M}^S \mathbb {Z})\rightarrow \mathbb {M}^S_*\mathbb {Z}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi>M</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow/> <mml:mo>∗</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>S</mml:mi> </mml:msubsup> <mml:mi>Z</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>M</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>S</mml:mi> </mml:msup> <mml:mi>Z</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi>M</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow/> <mml:mo>∗</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>S</mml:mi> </mml:msubsup> <mml:mi>Z</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> is simple p -torsion; in more detail, after localizing at p the projection $$\mathbb {Z}\rightarrow \mathbb {F}_p$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>Z</mml:mi> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> gives rise to a pullback square of commutative $$\mathbb {M}^S_*\mathbb {Z}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi>M</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow/> <mml:mo>∗</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>S</mml:mi> </mml:msubsup> <mml:mi>Z</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> -algebras "Equation missing" where the $$\mathbb {M}^S_*\mathbb {F}_p$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi>M</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow/> <mml:mo>∗</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>S</mml:mi> </mml:msubsup> <mml:msub> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> -algebra $$\ker \beta \subseteq \mathbb {M}^S_*\mathbb {F}_p(\mathbb {M}^S \mathbb {Z})$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>ker</mml:mo> <mml:mi>β</mml:mi> <mml:mo>⊆</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi>M</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow/> <mml:mo>∗</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>S</mml:mi> </mml:msubsup> <mml:msub> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mi>p