Phase transition for the late points of random walk

Abstract Let X be a random walk on the torus of side length N in dimension $$d\geqslant 3$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mo>⩾</mml:mo> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> with uniform starting point, and $$t_{\textrm{cov}}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mtext>cov</mml:mtext> </mml:msub> </mml:math> be the expected value of its cover time, which is the first time that X has visited every vertex of the torus at least once. For $$\alpha &gt; 0$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> , the set $$\mathcal {L}^{\alpha }$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>L</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>α</mml:mi> </mml:msup> </mml:math> of $$\alpha $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>α</mml:mi> </mml:math> -late points consists of those points not visited by X at time $$\alpha t_{\textrm{cov}}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mtext>cov</mml:mtext> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> . We prove the existence of a value $$\alpha _{{*}} \in (\frac{1}{2},1)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mmultiscripts> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mrow/> <mml:mo>∗</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow/> </mml:mmultiscripts> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mfrac> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> across which $$\mathcal {L}^{\alpha }$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>L</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>α</mml:mi> </mml:msup> </mml:math> trivialises as follows: for all $$\alpha &gt; \alpha _{{*}}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mmultiscripts> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mrow/> <mml:mo>∗</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow/> </mml:mmultiscripts> </mml:mrow> </mml:math> and $$\varepsilon \geqslant N^{-c}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>ε</mml:mi> <mml:mo>⩾</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mi>c</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> there exists a coupling of $$\mathcal {L}^\alpha $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>L</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>α</mml:mi> </mml:msup> </mml:math> and two occupation sets $$\mathcal {B}^{\alpha _\pm }$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>B</mml:mi> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mo>±</mml:mo> </mml:msub> </mml:msup> </mml:math> of i.i.d. Bernoulli fields having the same density as $$\mathcal {L}^{\alpha \pm \varepsilon }$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>L</mml:mi> </mml:mrow>