The Wave Equation with Acoustic Boundary Conditions on Non-Locally Reacting Surfaces

The aim of the paper is to study the problem <disp-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="StartLayout Enlarged left-brace 1st Row 1st Column u Subscript t t Baseline minus c squared normal upper Delta u equals 0 2nd Column a m p semicolon in double-struck upper R times normal upper Omega comma 2nd Row 1st Column mu v Subscript t t Baseline minus d i v Subscript Sub Subscript normal upper Gamma Baseline left-parenthesis sigma nabla Subscript normal upper Gamma Baseline v right-parenthesis plus delta v Subscript t Baseline plus kappa v plus rho u Subscript t Baseline equals 0 2nd Column a m p semicolon on double-struck upper R times normal upper Gamma 1 comma 3rd Row 1st Column v Subscript t Baseline equals partial-differential Subscript nu Baseline u 2nd Column a m p semicolon on double-struck upper R times normal upper Gamma 1 comma 4th Row 1st Column partial-differential Subscript nu Baseline u equals 0 2nd Column a m p semicolon on double-struck upper R times normal upper Gamma 0 comma 5th Row 1st Column u left-parenthesis 0 comma x right-parenthesis equals u 0 left-parenthesis x right-parenthesis comma u Subscript t Baseline left-parenthesis 0 comma x right-parenthesis equals u 1 left-parenthesis x right-parenthesis 2nd Column a m p semicolon in normal upper Omega comma 6th Row 1st Column v left-parenthesis 0 comma x right-parenthesis equals v 0 left-parenthesis x right-parenthesis comma v Subscript t Baseline left-parenthesis 0 comma x right-parenthesis equals v 1 left-parenthesis x right-parenthesis 2nd Column a m p semicolon on normal upper Gamma 1 comma EndLayout"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo>{</mml:mo> <mml:mtable columnalign="left left" rowspacing=".2em" columnspacing="1em" displaystyle="false"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mi mathvariant="normal">Δ</mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mspace width="2em"/> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>;</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mtext>in </mml:mtext> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo>×</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">Ω</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mtext>,</mml:mtext> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi/> <mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>σ</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi mathvariant="normal">∇</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi> </mml:msub> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>δ</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>κ</mml:mi> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>ρ</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mspace width="2em"/> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>;</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mtext>on </mml:mtext> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo>×</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mtext>,</mml:mtext> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi mathvariant="normal">∂</mml:mi> <mml:mi>ν</mml:mi> </mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mspace width="2em"/> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>;</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mtext>on </mml:mtext> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo>×</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mtext>,</mml:mtext> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mi mathvariant="normal">∂</mml:mi> <mml:mi>ν</mml:mi> </mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>;</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mtext>on </mml:mtext> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo>×</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mtext>,</mml:mtext> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mspace width="1em"/> <mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>;</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mtext>in </mml:mtext> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="normal">Ω</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mtext>,</mml:mtext> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mspace width="1em"/> <mml:msub> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>